Question

如图所示，三棱锥S-ABC中，SA⊥AC，AC⊥BC，M为SB的中点，D为AB的中点，且△AMB为正三角形．
（1）求证：DM∥平面SAC；
（2）求证：平面SBC⊥平面SAC；
（3）若BC=4，SB=20，求三棱锥D-MBC的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由已知易求MD∥SA，由SA?面SAC，MD?面SAC，即可得证．
（2）易知SA⊥AB，从而可证SA⊥面SAC，进而证明SA⊥BC，BC⊥面SAC，从而得证．
（3）由已知易求AC=2

21

，MD=5

3

，即可解得三棱锥D-MBC的体积．

解答：
解：（1）在三棱锥S-ABC中，M为SB的中点，D为AB的中点，可知MD∥SA，
∵SA?面SAC，MD?面SAC，
∴MD∥平面SAC；…4分
（2）∵△AMB为正三角形，M为SB的中点，D为AB的中点，
∴MD⊥AB，MD∥SA，∴SA⊥AB，
∵SA⊥AC，AB∩AC=A
∴SA⊥面SAC，
∴SA⊥BC，又∵BC⊥AC，AC∩BC=C，∴BC⊥面SAC．
又∵BC?面SBC，∴平面SBC⊥平面SAC；…8分
（3）∵由已知易求AC=2

21

，MD=5

3

，
∴V_D-MBC=V_M-DBC=

1

3

MD•S_△DBC=10

7

…12分

点评：本题主要考察了平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，考察了转化思想，属于中档题．