Question

【题目】已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率不为的直线交椭圆于、两点，在轴上是否存在定点，使得直线的斜率与直线的斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为．

【解析】

（1）根据椭圆的对称性可知点、、在椭圆上，可得出关于、的方程组，解出和的值，即可求得椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，设点、、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式并代入韦达定理，由已知条件可求得实数的值，进而得解.

（1）由于、两点关于轴对称，故由题设知经过、两点

易知椭圆不经过点，所以点在上，因此，解得，

因此，椭圆的方程为；

（2）由题意知直线的斜率不为，

设直线的方程为，设点，，，

设直线的斜率为，直线的斜率为．

由，消去，得，

易知，得，，

．

当，即时，为定值，

当时，；当时，．

此时点的坐标为．