(Ⅰ)求a1的值,并求an与an-1(n≥2)的关系式;
(Ⅱ)令bn=,设数列{bn}的前n项和为Tn,求
Tn;
(Ⅲ)令Sn=a1+a2+…+an,比较Sn与P(n)=n2+2n-1,n∈N*的大小.
解:(Ⅰ)y=2x,过点Qn(an,,)切线方程为y-
=2an(x-an).
当n=1时,切线y-=2a1(x-a1)过(1,0),得a1=2,
当n≥2时,切线y-=2an(x-an)过Pn-1(an-1,0),得an=2an-1.
(Ⅱ)∵an=2an-1,∴{an}是以2为首项,公比为2的等比数列,
∴an=2n, (5分)
bn=,(6分)
.
(Ⅲ)Sn=a1+a2+…+an=2n+1-2,P(n)=n2+2n-1=(n+1)2-2.
∴要比较Sn与P(n)的大小,只要比较2n+1与(n+1)2的大小即可.
当n=l时,S1=P(1);当n=2时,S2<P(2);
当n=3时,S3=P(3);
当n≥4时,2n+1=(1+1)n+1展开式至少6项,
∴2n+1=(1+1)n+1=≥2(
)=2[1+n+1+1+
]>(n+1)2.
∴当n≥4时,Sn>P(n). (也可用数学归纳法证明略).
科目:高中数学 来源:广东仲元中学2007届高三数学质量检测(一) 题型:044
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科目:高中数学 来源: 题型:
已知函数(
>0),过点P(1,0)作曲线
的两条切线PM、PN,为M、N.
(1)当t=2时,求函数的单调递增区间;
(2)设|MN|=g(t),求函数g(t)的表达式;
(3)在(2)的条件下,若对任意正整数,在区间[2,
+
]内总存在
+1个实数
、
、…、
、
,使得不等式g(
)+g(
)+…+g(
)<g(
)成立,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
过点P(1,0)作曲线C:的切线,切点为Q1,设Q1在
轴上的投影是Pl,又过P1作曲线C的切线,切点为Q2,设Q2在
轴上的投影是P2,……依次下去,得到一系列Q1、Q2、…、Q
,设点Q
横坐标为
.
(1)求的值,并求出
与
的关系;
(2)令,设数列{
}的前
项和为
,求
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(Ⅰ)求证:数列{an}为等比数列;
(Ⅱ)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
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