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过点P(1,0)作曲线C:y=x2(x>0)的切线,切点为Q1.设Q1在x轴上的投影是P1,又过P1作曲线C的切线,切点为Q2,设Q2在x轴上的投影是P2,…,依次下去,得到一系列点Q1,Q2,…,Qn,设点Qn的横坐标为an.

(Ⅰ)求a1的值,并求an与an-1(n≥2)的关系式;

(Ⅱ)令bn=,设数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn

(Ⅲ)令Sn=a1+a2+…+an,比较Sn与P(n)=n2+2n-1,n∈N*的大小.

解:(Ⅰ)y=2x,过点Qn(an,,)切线方程为y-=2an(x-an).

当n=1时,切线y-=2a1(x-a1)过(1,0),得a1=2,

当n≥2时,切线y-=2an(x-an)过Pn-1(an-1,0),得an=2an-1.   

(Ⅱ)∵an=2an-1,∴{an}是以2为首项,公比为2的等比数列,

∴an=2n,  (5分)

bn=,(6分)

.

(Ⅲ)Sn=a1+a2+…+an=2n+1-2,P(n)=n2+2n-1=(n+1)2-2.

∴要比较Sn与P(n)的大小,只要比较2n+1与(n+1)2的大小即可.

当n=l时,S1=P(1);当n=2时,S2<P(2);

当n=3时,S3=P(3); 

当n≥4时,2n+1=(1+1)n+1展开式至少6项,

∴2n+1=(1+1)n+1=≥2()=2[1+n+1+1+]>(n+1)2.

∴当n≥4时,Sn>P(n).  (也可用数学归纳法证明略).

练习册系列答案
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过点P(1,0)作曲线C:y=x2(x∈(0,+∞))的切线,切点为Q1,设点Q1在x轴上的投影为P1(即过点Q1作x轴的垂线,垂足为P1),又过点P1作曲线C的切线,切点为Q2,设点Q2在x轴上的投影为P2,…,依次下去,得到一系列点Q1,Q2,Q3,…,Qn,…,设点Qn的横坐标为an,n∈N*

(1)

求数列{an}的通项公式;

(2)

比较an的大小,并证明你的结论;

(3)

,数列{bn}的前n项和为Sn,求证:对任意的正整数n均有≤Sn<2.

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(1)求的值,并求出的关系;

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过点P(1,0)作曲线C:y=x2(x>0)的切线,切点为Q1.设Q1在x轴上的投影是P1,又过P1作曲线C的切线,切点为Q2,设Q2在x轴上的投影是P2,…,依次下去,得到一系列点Q1,Q2,…,Qn,设点Qn的横坐标为an.

(Ⅰ)求证:数列{an}为等比数列;

(Ⅱ)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.

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