Question

1．对任意x∈R，xe^x-a＞0为假命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 若对任意x∈R，xe^x-a＞0为假命题，则存在x∈R，xe^x≤a为真命题，构造函数f（x）=xe^x，利用导数法求出其最小值，可得答案．

解答 解：∵对任意x∈R，xe^x-a＞0为假命题，
∴存在x∈R，xe^x-a≤0为真命题，
即存在x∈R，xe^x≤a为真命题，
令f（x）=xe^x，则f′（x）=（1+x）e^x，
当x＜-1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x＞-1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
故当x=-1时，f（x）取最小值-$\frac{1}{e}$，
则-$\frac{1}{e}$≤a，
即a的取值范围为[-$\frac{1}{e}$，+∞）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数函数的图象和性质，难度不大，属于中档题．