Question

3．在某次数学摸底考试中，学生的成绩X近似地服从正态分布N（100，σ²），P（X＞120）=a，P（80＜X＜100）=b，若直线l：ax+by+$\frac{1}{2}$=0与圆C：x²+y²=2相切，则直线l的方程为x+y+2=0．

Answer 1

分析 由正态分布的知识可得b=$\frac{1}{2}$-a．求出圆心到直线的距离d=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，从而得到a，b，即可求出直线l的方程．

解答 解：∵P（X＞120）=a，P（80＜X≤100）=b，P（X＞120）=$\frac{1-2P（80＜X≤100）}{2}$，
∴a=$\frac{1-2b}{2}$，即b=$\frac{1}{2}$-a①．
∵直线l：ax+by+$\frac{1}{2}$=0与圆C：x²+y²=2相切，
∴圆x²+y²=2的圆心（0，0）到直线ax+by+$\frac{1}{2}$=0的距离d=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{2}$②
由①②可得a=b=$\frac{1}{4}$，
∴直线l的方程为x+y+2=0
故答案为：x+y+2=0．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，正态分布，属于中档题．