Question

8．已知{a_n}是等差数列，其前n项和为A_n，{b_n}是各项为正数的等比数列，其前n项和为B_n，且a₁=b₁=2，a₃+b₃=16，A₄-B₃=12．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记S_n=a_nb₁+a_n-1b₂+…+a₁b_n，（n∈N^*），证明：对任意的n∈N^*，都有S_n≥4．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q（q＞0），由等差数列和等比数列的通项和求和公式，解方程可得d=3，q=2，进而得到通项公式；
（Ⅱ）运用错位相减法，求得S_n，再由S_n+1-S_n，判断单调性，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q（q＞0），
a₁=b₁=2，a₃+b₃=16，A₄-B₃=12．
即有$\left\{\begin{array}{l}{（2+2d）+2{q}^{2}=16}\\{4×2+\frac{4×3}{2}d-（2+2q+2{q}^{2}）=12}\end{array}\right.$，
解得q=2，d=3，
所以a_n=3n-1，b_n=2ⁿ；
（Ⅱ）证明：S_n=a_nb₁+a_n-1b₂+…+a₁b_n，（n∈N^*），
即有S_n=（3n-1）•2+（3n-4）•4+…+5•2^n-1+2•2ⁿ，①
2S_n=（3n-1）•4+（3n-4）•8+…+5•2ⁿ+2•2ⁿ⁺¹，②
①-②可得，-S_n=（3n-1）•2-3（4+8+…+2ⁿ）-2•2ⁿ⁺¹，
=2（3n-1）-3•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-2ⁿ⁺²，
化简可得S_n=10•2ⁿ-10n-6，
由S_n+1-S_n=10•2ⁿ⁺¹-10n-16-10•2ⁿ+10n+6=10•2ⁿ-6＞0恒成立，
即有S_n+1＞S_n，则S_n≥S₁=4，
则有对任意的n∈N^*，都有S_n≥4．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．