Question

13．求函数f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）的值域，单调性，奇偶性，反函数．

Answer 1

分析 先分析真数部分（内函数）的值域和单调性，结合复合函数和对数函数的图象和性质，可得函数的值域，单调性，进而根据函数奇偶的定义，可判断出函数的奇偶性，再用y表示出x，进而可得函数的反函数．

解答 解：令t=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$，则t′=1+$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
当x≥0时，t′≥1，当x＜0时，$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$＞-1，t′＞0，
故t=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$在R上为增函数，当x→-∞时，t→0，当x→+∞时，t→+∞，
即t∈（0，+∞），
故函数f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）的值域为R；
在R上为增函数，
又由f（-x）+f（x）=lg（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=lg1=0得：f（-x）=-f（x），
故函数为奇函数，
令y=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
则x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$=10^y，
则x=$\frac{1}{2}$•（10^y-10^-y），
故函数f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）的反函数f^-1（x）=$\frac{1}{2}$（10^x-10^-x）

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，复合函数的图象和性质，反函数，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．