Question

已知函数f（x）=x³-12x+24．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）先求导函数f′（x），然后令f′（x）＞0，得到增区间；令f′（x）＜0，得到减区间；
（2）根据（1）的结论，计算极值，再比较所有极值和两个端点值，最大的即为最大值，最小的为最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-12x+24，
∴f′（x）=3x²-12，
令f′（x）＞0，即3x²-12＞0，解得x＜-2或x＞2，
令f′（x）＜0，即3x²-12＜0，解得-2＜x＜2，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-2）和（2，+∞），
单调减区间为（-2，2）；
（2）f（x）=x³-12x+24，x∈[0，3]，
由f′（x）=0解得x=±2，2∈[0，3]，
当x∈[0，2]时，f′（x）＜0，当x∈[2，3]时，f′（x）＞0，
∴当x=2时，f（x）取到极小值，且f（2）=8，
又f（0）=24，f（3）=15，
∴函数f（x）在区间[0，3]上的最大值为8，最小值为24．

点评：在高中阶段，导数是研究函数性质的有效的工具之一，比如函数的单调性，函数的极值及最值等．在高考试题中，往往导数部分的内容也会和不等式相结合，提高做题难度．