Question

2．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²，g（x）=alnx．
（1）若曲线y=f（x）-g（x）在x=1处的切线的方程为6x-2y-5=0，求实数a的值；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x₁，x₂，都有$\frac{h（{x}_{1}）-h（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导函数，利用曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为6x-2y-5=0，得k=1-a=3，即可求实数a的值；
（2）将条件对任意两个不等的正数x₁，x₂，都有$\frac{h（{x}_{1}）-h（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞2恒成立转化为$\frac{[h（{x}_{1}）-2{x}_{1}]-[h（{x}_{2}）-2{x}_{2}]}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，构造函数m（x）=h（x）-2x，则m（x）在（0，+∞）上单调递增，即m'（x）≥0恒成立，再将恒成立问题转化为求函数的最值，即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）y=f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx的导数为y'=x-$\frac{a}{x}$，
曲线y=f（x）-g（x）在x=1处的切线斜率为k=1-a，
由切线的方程为6x-2y-5=0，可得1-a=3，
解得a=-2；
（2）h（x）=f（x）+g（x）=$\frac{1}{2}$x²+alnx，
对任意两个不等的正数x₁，x₂，都有$\frac{h（{x}_{1}）-h（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞2恒成立，即$\frac{[h（{x}_{1}）-2{x}_{1}]-[h（{x}_{2}）-2{x}_{2}]}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
令m（x）=h（x）-2x，则m（x）在（0，+∞）递增，
故m′（x）=h′（x）-2=x+$\frac{a}{x}$-2≥0恒成立，即a≥x（2-x）恒成立，
因为x（2-x）=-（x-1）²+1≤1，所以a≥1，
即a的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查了利用导数求切线的斜率，研究函数的单调性与最值以及不等式恒成立问题的等价转化方法等知识点，其中构造新函数确定单调性是解决第2问的关键．