Question

12．过椭圆$\frac{x^2}{4}$+${\frac{y}{3}^2}$=1的右焦点作斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，求线段|AB|的长度．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．椭圆的右焦点F（1，0）．直线l的方程为：y=2x-2．与椭圆方程联立．利用弦长公式求解|AB|即可．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．过椭圆$\frac{x^2}{4}$+${\frac{y}{3}^2}$=1的右焦点（1，0）作斜率为2的直线：y=2x-2
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2（x-1）}\\{3{x^2}+4{y^2}=12}\end{array}$得19x²-32x+4=0，则x₁+x₂=$\frac{32}{19}$，x₁x₂=$\frac{4}{19}$，
|AB|=$\sqrt{1+{2}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{5}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{19}$$\sqrt{3{2}^{2}-16×19}$=$\frac{60}{19}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．