Question

7．在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5$\sqrt{5}$．
（1）证明：SC⊥BC；
（2）求三棱锥的体积V_S-ABC．
（3）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）利用SA⊥平面ABC，根据三垂线定理，可得SC⊥BC．
（2）先计算S_△ABC，再求三棱锥的体积V_S-ABC．
（3）由于BC⊥AC，SC⊥BC，可知∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角．在Rt△SCB中，求得SC=10，在Rt△SAC中，可求侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小．

解答 证明：（1）∵∠SAB=∠SAC=90°，
∴SA⊥AB，SA⊥AC．
又AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC．
由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，
由三垂线定理，得SC⊥BC．
解：（2）在Rt△SAC中，
∵SA=$\sqrt{S{C}^{2}-A{C}^{2}}$=5$\sqrt{3}$．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{25}{2}$．
∴V_S-ABC=$\frac{1}{3}$•S_△ACB•SA=$\frac{1}{3}$×$\frac{25}{2}×5\sqrt{3}=\frac{125\sqrt{3}}{6}$．
（3）∵BC⊥AC，SC⊥BC
∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角．
在Rt△SCB中，BC=5，SB=5$\sqrt{5}$．
得SC=$\sqrt{S{B}^{2}-B{C}^{2}}$=10
在Rt△SAC中，AC=5，SC=10，cosSCA=$\frac{AC}{SC}$=$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，
∴∠SCA=60°，
即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°．

点评 本题以三棱锥为载体，考查线线垂直，考查线面角，考查几何体的体积，关键是作出二面角的平面角．