Question

2．已知函数f（x）=$\frac{ax-1}{x+1}$．
（1）若a=2，利用定义法证明：函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数；
（2）若函数f（x）在区间（-∞，-1）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=2时，分离常数得出$f（x）=2-\frac{3}{x+1}$，根据增函数的定义，设任意的x₁＜x₂＜-1，然后作差，通分，证明f（x₁）＜f（x₂），从而得出f（x）在（-∞，-1）上是增函数；
（2）分离常数得出$f（x）=a-\frac{a+1}{x+1}$，根据f（x）在区间（-∞，-1）上是减函数便可得出a+1＜0，从而得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）证明：a=2时，$f（x）=\frac{2x-1}{x+1}=\frac{2（x+1）-3}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}$；
设x₁＜x₂＜-1，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{3}{{x}_{2}+1}-\frac{3}{{x}_{1}+1}$=$\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$；
∵x₁＜x₂＜-1；
∴x₁-x₂＜0，x₁+1＜0，x₂+1＜0；
∴$\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，-1）上是增函数；
（2）$f（x）=\frac{ax-1}{x+1}$
=$\frac{a（x+1）-a-1}{x+1}$
=$a-\frac{a+1}{x+1}$；
∵f（x）在（-∞，-1）上是减函数；
∴a+1＜0；
∴a＜-1；
∴实数a的取值范围为（-∞，-1）．

点评 考查分离常数法的运用，增函数、减函数的定义，以及根据增函数定义证明一个函数为增函数的方法和过程，清楚反比例函数的单调性．