Question

11．已知曲线C的极坐标方程为 ρ=2cosθ，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{6}$）=m．若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．

Answer 1

分析 由曲线C的极坐标方程为 ρ=2cosθ，转化成化为直角坐标方程为x²+y²=2x，转化成标准方程，即可求得圆心与半径，将直线l的方程转化成标准方程：x+$\sqrt{3}$y-2m，由题意可知：$\frac{|1-2m|}{2}$=1，求得m=-$\frac{1}{2}$或m=$\frac{3}{2}$．

解答 解：曲线C的极坐标方程为 ρ=2cosθ，
化为直角坐标方程为x²+y²=2x．
即（x-1）²+y²=1，表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆． …3分
直线l的极坐标方程是 ρ in（θ+$\frac{π}{6}$）=m，即$\frac{1}{2}$ρcosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρsinθ=m，
化为直角坐标方程为x+$\sqrt{3}$y-2m=0． …6分
由直线l与曲线C有且只一个公共点，
∴$\frac{|1-2m|}{2}$=1，解得m=-$\frac{1}{2}$或m=$\frac{3}{2}$．
∴所求实数m的值为-$\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$． …10分．

点评 本题考圆的参数方程转化成标准方程，直线的极坐标转化成直角坐标，直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．