Question

19．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-1．若对任意正整数n都有λS_n+1-S_n＜0恒成立，则实数λ的取值范围为（　　）

• A． λ＜1
• B． $λ＜\frac{1}{2}$
• C． $λ＜\frac{1}{3}$
• D． $λ＜\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 利用递推关系可得S_n，代入不等式λS_n+1-S_n＜0，化简利用数列的单调性即可得出．

解答 解：∵S_n=2a_n-1，∴n=1时，S₁=2S₁-1，解得S₁=1；
由S_n+1=2（S_n+1-S_n）-1，变形为：S_n+1+1=2（S_n+1），
∴数列{S_n+1}是等比数列，公比为2，首项为2．
∴S_n+1=2ⁿ，即S_n=2ⁿ-1．
不等式λS_n+1-S_n＜0即λ（2ⁿ⁺¹-1）＜2ⁿ-1，化为：λ＜$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2（{2}^{n+1}-1）}$，
由于数列$\{-\frac{1}{2（{2}^{n+1}-1）}\}$单调递增，∴n=1时取得最小值-$\frac{1}{6}$，
对任意正整数n都有λS_n+1-S_n＜0恒成立，∴$λ＜\frac{1}{2}-\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$．
∴实数λ的取值范围为$λ＜\frac{1}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．