Question

在平面直角坐标系中，定义

xn+1=yn-xn yn+1=yn+xn

(n∈N)为点Pn(xn，yn)到点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一个变换为“γ变换”，已知P₁（0，1），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），P_n+1（x_n+1，y_n+1）是经过“γ变换”得到的一列点．设an=|PnPn+1|，数列{an}的前n项和为Sn，那么

lim

n→∞

Sn

an

的值为（　　）

• A、

  2

• B、2-

  2

• C、2+

  2

• D、1+

  2

Answer 1

分析：由题设知a₁=1，a₂=

2

，a₃=2，a₄=2

2

…，可以得到a_n=

2

^n-1，从而求出S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n．由此可求出

lim

n→∞

Sn

an

的值．

解答：解：由题设知P₁（0，1），P₂（1，1），P₃（0，2），P₄（2，2），P₅（0，4），…
∴a₁=

(1-0)2+(1-1)2

=1，a₂=

(0-1)2+(2-1)2

=

2

，
a₃=

(2-0)2+(2-2)2

=2，a₄=

(0-2)2+(4-2)2

=2

2

，
…
∴a_n=

2

^n-1，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=1+

2

+2+2

2

+…+

2

^n-1=

( 2 )n-1

2 -1

．
∴

lim

n→∞

Sn

an

=

lim

n→∞

( 2 )n-1

( 2 -1) 2 n-1

=2+

2

．
故选C．

点评：本题考查集合的性质和运算，解题时要注意等比数列前n项和公式的合理运用．