Question

12．已知函数f（x）=a（x+1）²-4lnx，a∈R．
（1）若x=1是f（x）的极值点，求a的值；
（2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出a的值即可；
（2）因为对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，所以问题转化为导数值小于0恒成立的问题，对于导函数小于0在区间[1，e]上恒成立，则问题转化为函数的最值问题，即函数f′（x）＜0恒成立，通过化简最终转化为f（m）＜1在区间[1，e]上恒成立，再通过研究f（x）在[1，e]上的单调性求最值，注意分类讨论的标准的确定．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=2a（x+1）-$\frac{4}{x}$，
若x=1是f（x）的极值点，
则f′（1）=4a-4=0，解得：a=1；
（2）∵对任意m∈[1，e]，直线PM的倾斜角都是钝角，
∴对任意m∈[1，e]，直线PM的斜率小于0，即$\frac{f（m）-1}{m}$＜0，
∴f（m）＜1，即f（x）在区间[1，e]上的最大值小于1，
又因为f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}+2ax-4}{x}$，
令g（x）=2ax²+2ax-4=2a${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{a}{2}$-4，x∈[1，e]，
①a≤0时，g（x）在[1，e]递减，
g（x）_max=g（1）=4a-4＜0，
∴f（x）在[1，e]递减，f（x）_max=f（1）=4a＜0＜1，
故a≤0时，符合题意；
②a＞0时，令g（x）=0，解得：x=$\sqrt{\frac{2}{a}+\frac{1}{4}}$，
当$\sqrt{\frac{2}{a}+\frac{1}{4}}$≤1即a≥$\frac{8}{3}$时，f（x）在[1，e]递增，
f（x）_max=f（e）=a（e+1）²-4＜1，解得：a＜$\frac{5}{{（e+1）}^{2}}$，
当$\sqrt{\frac{2}{a}+\frac{1}{4}}$≥e即0＜a≤$\frac{8}{{4e}^{2}-1}$时，
f（x）在[1，e]递减，f（x）max=f（1）=4a-4＜1，
解得：a＜$\frac{5}{4}$，而$\frac{8}{{4e}^{2}-1}$＜$\frac{5}{4}$，故a≤$\frac{8}{{4e}^{2}-1}$，
当1＜$\sqrt{\frac{2}{a}+\frac{1}{4}}$＜e时，f（x）在[1，$\sqrt{\frac{2}{a}+\frac{1}{4}}$）递减，在（$\sqrt{\frac{2}{a}+\frac{1}{4}}$，e]递增，
∴f（x）的最大值是f（1）或f（e），
综上：a≤$\frac{8}{{4e}^{2}-1}$．

点评 本题重点考查不等式恒成立问题的基本思路，一般是转化为函数的最值问题，然后从函数的单调性入手分析，注意本题第二问讨论时的标准，一般要借助于函数图象辅助来解决问题．一方面利用了数学结合思想，同时重点考查了分类讨论思想的应用，有一定难度．