Question

20．定义在[-10，10]上的偶函数f（x）在（-∞，0）是单调递减，f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1），则a的取值范围如何？

Answer 1

分析 由函数f（x）是定义在R上的偶函数，并在区间（-∞，0）内单调递减，则有f（x）在（0，+∞）内递增．由配方可得2a²+a+1，3a²-2a+1均恒正，即有2a²+a+1＜3a²-2a+1，结合3a²-2a+1≤10，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：由函数f（x）是定义在R上的偶函数，并在区间（-∞，0）内单调递减，
则有f（x）在（0，+∞）内递增．
由2a²+a+1=2（a+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{7}{8}$＞0恒成立，
3a²-2a+1=3（a-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{2}{3}$＞0恒成立，
则f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1），即为2a²+a+1＜3a²-2a+1，
即a²-3a＞0，解得a＞3或a＜0．
又3a²-2a+1≤10，∴$\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$≤a≤$\frac{1+2\sqrt{7}}{3}$
则a的取值范围是[$\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$，0）．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．