Question

【题目】在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若∥平面，则线段长度的取值范围是( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

分析：首先确定点P的轨迹，然后利用几何体的结构特征整理计算即可求得最终结果.

详解：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，

∵M、N、E、F为所在棱的中点，

∴MN∥BC1，EF∥BC1，

∴MN∥EF.

∵MN平面AEF，EF平面AEF，

∴MN∥平面AEF.

∵AA1∥NE，AA1=NE，

∴四边形AENA1为平行四边形，

∴A1N∥AE.

∵A1N平面AEF，AE平面AEF，

∴A1N∥平面AEF.

∵A1N∩MN=N，

∴平面A1MN∥平面AEF.

∵P是侧面BCC1B1内一点，A1P∥平面AEF，

∴P必在线段MN上.

∵在Rt△A1B1M中，A1B1=1，，

∴，

同理可得在Rt△A1B1N中，

∴△A1MN是等腰三角形.

当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长.

∵在Rt△B1MN中，，

∴.

∵点O是MN中点，

∴.

∵在Rt△A1MO中，，

∴.

∵，

∴线段A1P长度的取值范围是.

本题选择B选项.