Question

已知函数f（x）=x²+lnx-ax．
（1）若f（x）在（0，1）上是增函数，求a得取值范围；
（2）在（1）的结论下，设g（x）=e^2x+|e^x-a|，x∈[0，ln3]，求函数g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）本题知道了函数在（0，1）上是增函数，求a范围，可以转化为f'（x）＞0在（0，1）上恒成立，由此求解参数范围即可；
（2）本题先用换元法将复合函数变成关于变量的分段二次函数，然后在两段时分别研究，求出每一段上的最小值，再取两者中的较小者即可．

解答：解：（1）f'（x）=2x+

1

x

-a，（1分）
∵f（x）在（0，1）上是增函数，
∴2x+

1

x

-a＞0在（0，1）上恒成立，即a＜2x+

1

x

恒成立．
∵2x+

1

x

≥2

2

（当且仅当x=

2

2

时取等号），所以a＜2

2

．（4分）
当a=2

2

时，易知f（x）在（0，1）上也是增函数，所以a≤2

2

．（5分）
（2）设t=e^x，则h（t）=t²+|t-a|，
∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]．（7分）
当a≤1时，h（t）=t²+t-a，在区间[1，3]上是增函数，所以h（t）的最小值为h（1）=2-a．（9分）
当1＜a≤2

2

时，h（t）=

t2-t+a    1≤t＜a t2+t-a    a≤t≤3

．
因为函数h（t）在区间[a，3]上是增函数，在区间[1，a]上也是增函数，所以h（t）在[1，3]上为增函数，
所以h（t）的最小值为h（1）=a．（14分）
所以，当a≤1时，g（x）的最小值为2-a；当1＜a≤2

2

时，g（x）的最小值为a．（15分）

点评：本题的考点是函数的最值及其几何意义，考查了函数单调性与导数的关系，考查了不等式恒成立求参数问题的转化方向，利用单调性求函数的最小值．涉及到的知识点较多，综合性强．