Question

如图，在直角梯形ABEF中，，，讲DCEF沿CD折起，使得，得到一个几何体，

（1）求证：平面ADF；
（2）求证：AF平面ABCD；
（3）求三棱锥E-BCD的体积.

Answer 1

（1）见解析（2）见解析（3）

试题分析：
（1）要证明平面ADF，可以通过BCE面与ADF面平行来得到线面平行，在折叠过程中，会保持BC//AD,CE//DF，故两平面内两条相交的直线相互平行，故可以证明BCE面与ADF面平行来得到线面平行
（2）要证明AF垂直于ABCD面，只需要证明AF与ABCD面内两条相交的直线AD与DC垂直即可，利用三角形ADF的正弦定理，可以求出AF长度，加以勾股定理就可以证明AF与AD垂直，DC垂直于DF和AD，所以DC垂直于面AFD，进而也是垂直于AF的.
（3）求三棱锥E-BCD的体积，由（1）（2）可以知道面BCE与面ADF平行且DC垂直于面ADF,进而有DC垂直于面BCE，所以求三棱锥的体积可以以三角形BCE底面，DC为高，则高长度已知，底面三角形面积可以利用EC,BC及其两边夹角的正弦值来求的.
试题解析：
（1）由已知条件可知，折叠之后平行关系不变,又因为平面，
平面，所以//平面；
同理//平面.    2分
又平面，
平面//平面.
又平面,
∴//平面.    4分
（2）由于
，即
.    6分
平面,

平面.    8分
（3）法一：平面，
.                10分
又,.
       12分
    14分
法二：取中点，连接.
由（2）易知⊥平面,又平面//平面,
⊥平面.                10分
又,.
，,  12分
.
.              14分