Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，PD⊥CD，E为PC的中点，O为AD中点．
（1）求证：PA∥平面DBE；
（2）求证：PO⊥平面ABCD；
（3）求二面角B-DE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC交BD于点O₁，连结EO₁，则EO₁∥PA，由此能证明PA∥平面DBE．
（2）推导出CD⊥平面，从而CD⊥PO，再求出PO⊥AD，由此能证明PO⊥平面ABCD．
（3）取BC中点M，以O为坐标原点，分别以$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{OP}为x，y，z$轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-DE-C的余弦值．

解答 证明：（1）连结AC交BD于点O₁，连结EO₁，
因为底面ABCD是正方形，
所以O₁是AC的中点．又因为E为PC中点，
所以EO₁∥PA，PA?平面DBE，EO₁?平面DBE，
所以PA∥平面DBE．
（2）∵CD⊥AD、CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，PO?平面PAD，
∴CD⊥PO，∵PA=PD，∴PO⊥AD，
又CD∩AD=D，
∴PO⊥平面ABCD．
解：（3）取BC中点M，以O为坐标原点，
分别以$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{OP}为x，y，z$轴正方向建立空间直角坐标系．
设AD=a，$O（{0，0，0}），A（{\frac{a}{2}，0，0}），B（{\frac{a}{2}，a，0}），C（{-\frac{a}{2}，a，0}）$，
$D（{-\frac{a}{2}，0，0}）$，$P（{0，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a}），E（{-\frac{a}{4}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{4}a}）$，
取PD的中点为F，得AF⊥平面PCD，
∴可取平面CDE的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，-1$），
设平面BDE的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{BD}$=（-a，-a，0），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{a}{4}，\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}a}{4}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-ax-ay=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=\frac{a}{4}x+\frac{a}{2}y+\frac{\sqrt{3}a}{4}z=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}}{2\sqrt{\frac{7}{3}}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
由图知二面角B-DE-C是锐二面角，所以二面角B-DE-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．