Question

16．已知函数f（x）=1-$\sqrt{1-x}$
（1）证明：函数f（x）在定义域上是增函数．
（2）求函数f（x）在[-3，0]上的最大值与最小值．
（3）求函数的值域．

Answer 1

分析 （1）证明：函数f（x）在定义域上是增函数．
（2）求函数f（x）在[-3，0]上的最大值与最小值．
（3）求函数的值域．

解答 （1）证明：函数的定义域为（-∞，1]，
设x₁＜x₂≤1，
则f（x₁）-f（x₂）=1-$\sqrt{1-{x}_{1}}$-（1-$\sqrt{1-{x}_{2}}$）=$\sqrt{1-{x}_{2}}$-$\sqrt{1-{x}_{1}}$=$\frac{1-{x}_{2}-1+{x}_{1}}{\sqrt{1-{x}_{2}}+\sqrt{1-{x}_{1}}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{\sqrt{1-{x}_{1}}+\sqrt{1-{x}_{2}}}$，
∵x₁＜x₂≤1，
∴x₁-x₂＜0，$\sqrt{1-{x}_{1}}$＞0，$\sqrt{1-{x}_{2}}$≥0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即函数f（x）在定义域上是增函数．
（2）由（1）知，函数f（x）在[-3，0]上为增函数，
∴函数的最大值为f（0）=1-1=0，最小值为f（-3）=1-$\sqrt{1+3}$=1-$\sqrt{4}$=1-2=-1．
（3）∵函数f（x）在定义域上是增函数且定义域为（-∞，1]，
∴f（x）≤f（1）=1，
即f（x）≤1，
即函数的值域为（-∞，1]．

点评 本题主要考查函数单调性的判断和应用，以及利用是的单调性求闭区间上的最大值和最小值以及值域，利用定义法是证明函数单调性的基本方法．