Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1），n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（III）求使不等式对一切n∈N^*均成立的最大实数p的值．

Answer 1

解：（I）证明：∵a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1），
S_n+1=（n+1）a_n+1-2（n+1）n，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n，
∴a_n+1-a_n=4，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为4的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）•4=4n-3．
（II）由（I）知：a_n=4n-3，
∴=，
∴，
∴，
两式相减，得：+…+）-
=-
=-，
∴．
（III）∵≥对一切n∈N^*均成立，
即对一切n∈N^*均成立，
只需p≤_min，n∈N^*，
令…，n≥2，且n∈N^*，
则，n≥2，且n∈N^*，
==＞1，n≥2，且n∈N^*，
∴f（n）＞f（n-1），n≥2，且n∈N^*，
即f（n）在n∈N^*上为增函数，
∴=，
∴，
故实数p的最大值是．
分析：（I）由a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1），知S_n+1=（n+1）a_n+1-2（n+1）n，故a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n，所以a_n+1-a_n=4，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（II）由a_n=4n-3，知=，所以，由错位相减法能求出．
（III）由≥对一切n∈N^*均成立，知对一切n∈N^*均成立，只需p≤_min，n∈N^*，由此能求出实数p的最大值．
点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易错点是求使不等式对一切n∈N^*均成立的等价命题的转化，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．