Question

已知函数f（x）=e^-xsinx（其中e=2.718…）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在[-π，+∞）上的最大值与最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=（-sinx+cosx）e^-x=cos（x+）e^-x．
令f′（x）=0，解得：x=kπ+，k∈Z．
因为当x∈（2kπ-，2kπ+）（k∈Z）时，f′（x）＞0；当x∈（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）时，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间是（2kπ-，2kπ+）（k∈Z），单调递减区间是（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[-π，-）上单调递减，在（，）上单调递增，在（，π]上单调递减．
f（-π）=0，f（）=0，f（π）=0，f（-）=
所以f（x）在[-π，π]上的最大值为，最小值为．
所以f（x）在[-π，+∞）上，x=2kπ+（k∈Z）时，取得最大值；当x=2kπ-（k∈Z）时，取得最小值．
分析：（Ⅰ）求导函数，由导数的正负，可确定f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[-π，π]上的单调性，从而可得f（x）在[-π，π]上的最大值与最小值，由此可得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，正确确定函数的单调性是关键，属于中档题．