Question

（2012•淮北二模）已知函数f（x）=

1

x2

（x≠0），各项均为正数的数列{a_n}中a₁=1，

1

a 2 n+1

=f（a_n）+4（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在数列{b_n}中，对任意的正整数n，b_n•

(3n-1) a 2 n +n

a 2 n

=1 都成立，设S_n为数列{b_n}的前n项和试比较S_n与

1

2

的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知

1

an+12

=

1

an2

+4，结合等差数列的通项公式可求

1

an2

，结合a_n＞0，可求
（Ⅱ）由bn=

an2

(3n-1)an2+ n an2

=

1

(3n-1)+n(4n-3)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和可求S_n，即可判断

解答：解：（Ⅰ）∵

1

a 2 n+1

=f（a_n）=

1

an2

+4
∴

1

an+12

=

1

an2

+4
∴

1

an+12

-

1

an2

=4
∴{

1

an2

}是以1为首项4为公差的等差数列．
∴

1

an2

=1+4（n-1）=4n-3
∴an2=

1

4n-3

∵a_n＞0，
∴an=

1

4n-3

…（6分）
（Ⅱ）bn=

an2

(3n-1)an2+ n an2

=

1

(3n-1)+n(4n-3)

=

1

4n2-1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Sn=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

…（13分）

点评：本题目主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求通项公式，及数列的裂项求和方法的应用