【题目】设函数,
.
(Ⅰ)若,求
的极小值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,是否存在实常数和
,使得
和
?若存在,求出
和
的值.若不存在,说明理由;
(Ⅲ)设有两个零点
,且
成等差数列,试探究
值的符号.
【答案】(1)极小值为0(2)k=2,m= -1(3)
【解析】试题分析:(Ⅰ)首先由,得到关于
的两个方程,从而求出
,这样就可得到
的表达式,根据它的特点可想到用导数的方法求出
的极小值; (Ⅱ)由(Ⅰ)中所求的
和
,易得到它们有一个公共的点
,且
和
在这个点处有相同的切线
,这样就可将问题转化为证明
和
分别在这条切线
的上方和下方,两线的上下方可转化为函数与0的大小,即证
和
成立,从而得到
和
的值; (Ⅲ)由已知易得
,由零点的意义,可得到关于
两个方程,根据结构特征将两式相减,得到关于
的关系式
,又对
求导,进而得到
,结合上面关系可化简得:
,针对特征将
当作一个整体,可转化为关于
的函数
,对其求导分析得,
恒成立.
试题解析:解:(Ⅰ)由,得
,解得
2分
则=
,
利用导数方法可得的极小值为
5分
(Ⅱ)因与
有一个公共点
,而函数
在点
的切线方程为
,
下面验证都成立即可 7分
由,得
,知
恒成立 8分
设,即
,易知其在
上递增,在
上递减,
所以的最大值为
,所以
恒成立.
故存在这样的k和m,且10分
(Ⅲ)的符号为正. 理由为:因为
有两个零点
,则有
,两式相减得
12分
即,于是
14分
①当时,令
,则
,且
.
设,则
,则
在
上为增函数.而
,所以
,即
. 又因为
,所以
.
②当时,同理可得:
.
综上所述: 的符号为正 16分
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数(
),将
的图象向左平移
个单位长度后得到
的图象,且
在区间
内的最大值为
.
(1)求实数的值;
(2)在中,内角
,
,
的对边分别是
,
,
,若
,且
,求
的周长
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关,先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制),剔除平均分在分以下的学生后, 共有男生
名,女生
名,现采用分层抽样的方法,从中抽取了
名学生,按性别分为两组,并将两组学生成绩分为
组, 得到如下频数分布表.
(Ⅰ)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表),从计算结果看,能否判断数学成绩与性别有关;
(Ⅱ)规定分以上为优分(含
分),请你根据已知条件完成
列联表,并判断是否有
%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”,(
,其中
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】椭圆:
的离心率为
,过其右焦点
与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点
,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的左顶点为
,右顶点为
,点
是椭圆上的动点,且点
与点
,
不重合,直线
与直线
相交于点
,直线
与直线
相交于点
,求证:以线段
为直径的圆恒过定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设点、
是平面上左、右两个不同的定点,
,动点
满足:
.
(1)求证:动点的轨迹
为椭圆;
(2)抛物线满足:①顶点在椭圆
的中心;②焦点与椭圆
的右焦点重合.
设抛物线与椭圆
的一个交点为
.问:是否存在正实数
,使得
的边长为连续自然数.若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数,
.
(Ⅰ)若,求
的极小值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,是否存在实常数和
,使得
和
?若存在,求出
和
的值.若不存在,说明理由;
(Ⅲ)设有两个零点
,且
成等差数列,试探究
值的符号.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校夏令营有3名男同学A、B、C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表,现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).
(1)用表中字母列举出所有可能的结果;
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.
一年级 | 二年级 | 三年级 | |
男同学 | A | B | C |
女同学 | X | Y | Z |
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【题目】已知短轴长为2的椭圆,直线
的横、纵截距分别为
,且原点到直线
的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线经过椭圆的右焦点
且与椭圆
交于
两点,若椭圆
上存在一点
满足
,求直线
的方程.
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