Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，有S_n，

a

2(a-1)

an，n（a≠0，a≠1）成等差数列，令b_n=（a_n+1）lg（a_n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n（用a，n表示）
（2）当a=

8

9

时，数列{b_n}是否存在最小项，若有，请求出第几项最小；若无，请说明理由；
（3）若{b_n}是一个单调递增数列，请求出a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设知

a

a-1

an+1=Sn+1+n+1，a_n+1+1=a（a_n+1），再由{a_n+1}是以a为公比的等比数列．知a_n+1=（a₁+1）a^n-1
又由

a

a-1

a1=a1+1?a₁=a-1，由此知a_n=aⁿ-1．
（2）a=

8

9

时，bn=n(

8

9

)nlg

8

9

，bn+1-bn=

8-n

9

•(

8

9

)n•lg

8

9

，
再经过分类讨论可知存在最小项且第8项和第9项最小．
（3）由b_n+1＞b_n得b_n+1-b_n=（n+1）aⁿ⁺¹lga-naⁿlga=aⁿ[（n+1）a-n]lga＞0，由此入手能够得到a的取值范围．

解答：解：（1）由题意

a

a-1

an=Sn+n①
∴

a

a-1

an+1=Sn+1+n+1②
②-①得

1

a-1

an+1=

a

a-1

an+1，
即a_n+1+1=a（a_n+1），{a_n+1}是以a为公比的等比数列．∴a_n+1=（a₁+1）a^n-1
又由

a

a-1

a1=a1+1?a₁=a-1∴a_n=aⁿ-1

（2）a=

8

9

时，bn=n(

8

9

)nlg

8

9

，bn+1-bn=

8-n

9

•(

8

9

)n•lg

8

9

当n＜8时，b_n+1-b_n＜0即b_n+1＜b_n，∴b₁＞b₂＞＞b₈
当n=8时，b_n+1-b_n=0即b_n+1=b&_n，b₈=b₉
当n＞8时，b_n+1-b_n＞0即b_n+1＞b_n∴b₉＜b₁₀＜
存在最小项且第8项和第9项最小

（3）由b_n+1＞b_n得b_n+1-b_n=（n+1）aⁿ⁺¹lga-naⁿlga=aⁿ[（n+1）a-n]lga＞0
当a＞1时，得（n+1）a-n＞0，即a＞

n

n+1

，显然恒成立，∴a＞1
当0＜a＜1时，lga＜0，∴（n+1）a-n＜0即a＜

n

n+1

，∴a＜

1

2

，∴0＜a＜

1

2

综上，a的取值范围为(0，

1

2

)∪(1，+∞)．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，合理解答，注意公式的灵活运用．