Question

在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C₁上的任一点到点（1，0）的距离与到直线x=2的距离之比为

2

2

，动点Q是动圆C₂：x²+y²=r²（1＜r＜

2

）上一点．
（1）求曲线C₁的轨迹方程；
（2）若点P为曲线C₁上的点，直线PQ与曲线C₁和动圆C₂均只有一个公共点，求P、Q两点的距离|PQ|的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据曲线C₁上的任一点到点（1，0）的距离与到直线x=2的距离之比为

2

2

，建立方程，化简，即可求曲线C₁的轨迹方程；
（2）易知直线PQ的斜率存在，设直线方程为y=kx+m，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x12 2 +y12=1 y1=kx1+m

得（2k²+1）x₁²+4kmx₁+2（m²-1）=0，由直线与椭圆相切得△=0，x₁=-

2k

m

①，由直线PQ与圆C₂相切，则

|m|

1+k2

=r②，联立①②可消掉m，由勾股定理可把|PQ|²表示为r的函数，再用基本不等式可得其最大值．

解答： 解：（1）设曲线C₁上的任一点（x，y），依题意
∵曲线C₁上的任一点到点（1，0）的距离与到直线x=2的距离之比为

2

2

，
∴

(x-1)2+y2

|x-2|

=

2

2

，化简方程得

x2

2

+y2=1．…（3分）
（2）依题意可知直线PQ显然有斜率，设其方程为y=kx+m，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），…（4分）
由于直线PQ与曲线C₁相切，点P为切点，从而有

x12 2 +y12=1 y1=kx1+m

得（2k²+1）x₁²+4kmx₁+2（m²-1）=0…（10分）．
由于直线PQ与椭圆C₁相切，故△=（4km）²-4×2（m²-1）（2k²+1）=0
从而可得m²=1+2k²，①x₁=-

2k

m

…（8分）
又直线PQ与圆C₂相切，则

|m|

1+k2

=r，
∴m²=r²（1+k²），②…（9分）
由①②得k²=

r2-1

2-r2

，…（10分）
并且|PQ|²=|OP|²-|OQ|²=x₁²+y₁²-r²=3-r²-

2

r2

≤3-2

2

即|PQ|≤

2

-1，当且仅当r²=

2

∈（1，2）时取等号，…（13分）
故P、Q两点的距离|PQ|的最大值

2

-1．…（14分）

点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，本题综合性强，难度大．