Question

【题目】已知椭圆： 的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线： 与椭圆相交于， 两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在点，使得为定值，且定值为0．

【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为可得，解方程组即可的结果；（2）由得，根据韦达定理以及过两点的直线的斜率公式可得，只需令，即可得结果.

试题解析：（1）由已知可得解得， ，

所求椭圆方程为．

（2）由得，

则，解得或．

设， ，

则， ，

设存在点，则， ，

所以 ．

要使为定值，只需 与参数无关，

故，解得，

当时， ．

综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0．