Question

【题目】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，

f(x)＝.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)>－2.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）设x＜0，可得-x＞0，则f（-x）=，再由函数f（x）是偶函数求出x＜0时的解析式，则答案可求；
（2）由f（4）=＝2，因为f（x）是偶函数，不等式f（x2-1）＞-2可化为f（|x2-1|）＞f（4）,利用函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，可得|x2-1|＜4，求解绝对值的不等式可得原不等式的解集．

试题解析：

(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log (－x).

因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log (－x)，

所以函数f(x)的解析式为

f(x)＝

(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，

所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).

又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

所以|x2－1|<4，解得－<x<，

即不等式的解集为(－，).