已知数列{an}是首项为1,公差为d的等差数列,数列{bn}是首项为1,公比为q(q>1)的等比数列.
(1)若a5=b5,q=3,求数列{an·bn}的前n项和;
(2)若存在正整数k(k≥2),使得ak=bk.试比较an与bn的大小,并说明理由..
(1)Sn=(2)当1<n<k时,an<bn;当n>k时,an>bn;当n=1,k时,an=bn.
【解析】审题引导:①等差数列与等比数列对应项的积错位相减求和;②作差比较.
规范解答:【解析】
(1)依题意,a5=b5=b1q5-1=1×34=81,故d==20,
所以an=1+20(n-1)=20n-19.(3分)
令Sn=1×1+21×3+41×32+…+(20n-19)·3n-1,①
则3Sn=1×3+21×32+…+(20n-39)·3n-1+(20n-19)·3n,②
①-②,得-2Sn=1+20×(3+32+…+3n-1)-(20n-19)·3n=1+20×-(20n-19)·3n=(29-20n)·3n-29,所以Sn=.(7分)
(2)因为ak=bk,所以1+(k-1)d=qk-1,即d=,
故an=1+(n-1).又bn=qn-1,(9分)所以bn-an=qn-1-
=[(k-1)(qn-1-1)-(n-1)(qk-1-1)]
=[(k-1)(qn-2+qn-3+…+q+1)-(n-1)(qk-2+qk-3+…+q+1)].(11分)
(ⅰ)当1<n<k时,由q>1知
bn-an=[(k-n)(qn-2+qn-3+…+q+1)-(n-1)(qk-2+qk-3+…+qn-1)]
<[(k-n)(n-1)qn-2-(n-1)(k-n)qn-1]=-
<0;(13分)
(ⅱ)当n>k时,由q>1知
bn-an=[(k-1)(qn-2+qn-3+…+qk-1)-(n-k)(qk-2+qk-3+…+q+1)]
>[(k-1)(n-k)qk-1-(n-k)(k-1)qk-2]
=(q-1)2qk-2(n-k)
>0,(15分)
综上所述,当1<n<k时,an<bn;当n>k时,an>bn;当n=1,k时,an=bn.(16分)
(注:仅给出“1<n<k时,an<bn;n>k时,an>bn”得2分)
错因分析:错位相减时项数容易搞错,作差比较后学生不能灵活倒用等比数列求和公式1-qn=(1-q)(1+q+q2+…+qn-1)
科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第3课时练习卷(解析版) 题型:解答题
在正三棱柱ABCA1B1C1中,点D是BC的中点,BC=BB1.
(1)若P是CC1上任一点,求证:AP不可能与平面BCC1B1垂直;
(2)试在棱CC1上找一点M,使MB⊥AB1.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第1课时练习卷(解析版) 题型:填空题
如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则
(1)当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为菱形;
(2)当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH是正方形.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第6课时练习卷(解析版) 题型:填空题
已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an、an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10=________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第5课时练习卷(解析版) 题型:填空题
某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第1名得全部资金的一半多一万元,第2名得剩下的一半多一万元,以名次类推都得到剩下的一半多一万元,到第10名恰好资金分完,则此科研单位共拿出________万元资金进行奖励.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第5课时练习卷(解析版) 题型:填空题
某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)为________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第4课时练习卷(解析版) 题型:解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn=3n-1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn= (Sn+1),求数列{bnan}的前n项和Tn.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第3课时练习卷(解析版) 题型:填空题
若数列{an}满足lgan+1=1+lgan,a1+a2+a3=10,则lg(a4+a5+a6)=________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第1课时练习卷(解析版) 题型:填空题
设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=(-1)nan-,n∈N?,则a3=________.
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