Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．

（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；
（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

设AP=AB=AD=2BC=2，

则P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），

=（2，1，﹣2）， =（﹣2，2，0），

设异面直线PC与BD所成角为θ，

则cosθ= = = ．

∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为

（2）解： =（2，0，﹣2）， =（2，1，﹣2）， =（0，2，﹣2），

设平面PBC的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，

得 =（1，0，1），

设平面PCD的法向量 =（a，b，c），

则 ，取b=1，得 =（1，2，2），

设钝二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，

cosθ=﹣|cos＜ ＞|=﹣| |=﹣ ，

∴θ=135°，

∴钝二面角B﹣PC﹣D的大小为135°．

【解析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与BD所成角的余弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出钝二面角B﹣PC﹣D的大小．
【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系才能正确解答此题．