Question

【题目】已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,AD⊥AB,AD=AB=CD=1,PD⊥平面ABCD,PD=,E是PC的中点.

(1)证明:BE∥平面PAD;

(2)求二面角E-BD-C的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)根据题意，找到PD的中点，连接EF,AF,根据平行四边形的证明方法可得线面平行。

(2)建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，求两个平面的法向量即可得到两个平面的二面角大小。

(1)证明取PD的中点F,连接EF,AF,

∵E为PC中点,

∴EF∥CD,且EF=CD=1.

在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=1,

∴EF∥AB,EF=AB,四边形ABEF为平行四边形.

∴BE∥AF.∵BE平面PAD,AF平面PAD,

∴BE∥平面PAD.

(2)解分别以DA,DB,DP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,可得B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,),E.

∴=(1,1,0),.

设n=(x,y,z)为平面BDE的一个法向量,

则

取x=1,得y=-1,z=,n=(1,-1,).

∵平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),

∴cos<m,n>=,可得<m,n>=45°.

因此,二面角E-BD-C的大小为45°.