Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

2

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P的坐标为（2，

3

），且F₂在线段PF₁的中垂线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如果圆E：（x-

1

2

）²+y²=r²上的所有点都不在椭圆C的外部，求圆E的半径r的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

c

a

=

2

2

，（2c）²=（

3

）²+（2-c）²，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）是椭圆C上任意一点，则

x02

2

+y02=1，|PE|=

(x0- 1 2 )2+y02

，由此利用两点间距离公式能求出半径r的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）椭圆C的离心率e=

2

2

，得：

c

a

=

2

2

，…（1分）
其中c=

a2-b2

，椭圆C的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），
又点F₁在线段PF₁的中垂线上，
∴|F₁F₂|=|PF₂|，∴（2c）²=（

3

）²+（2-c）²，…（3分）
解得c=1，a²=2，b²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1． …（6分）
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）是椭圆C上任意一点，
则

x02

2

+y02=1，|PE|=

(x0- 1 2 )2+y02

，
∵y02=1-

x02

2

，…（8分）
∴|PE|=

(x0- 1 2 )2+1- x02 2

=

1 2 x02-x0+ 5 4

，（-

2

≤x0≤

2

）．
当x₀=1时，|PE|_min=

1 2 -1+ 5 4

=

3

2

，
∴半径r的最大值为

3

2

．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查半径的最大值的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．