【题目】如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,点M是正方体对角线D1B的中点,点N在棱CC1上.
(1)当2|C1N|=|NC|时,求|MN|;
(2)当点N在棱CC1上移动时,求|MN|的最小值并求此时的N点坐标.
【答案】
(1)解:∵如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,
正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,点M是正方体对角线D1B的中点,
点N在棱CC1上,2|C1N|=|NC|,
∴D1(0,0,1),B(1,1,0),M( ),N(0,1, ),
∴|MN|= =
(2)解:∵点M是正方体对角线D1B的中点,点N在棱CC1上移动时,
∴当MN是BD1和CC1的公垂线时,|MN|取最小值,
∴当N是CC1中点时,|MN|取最小值,
此时N(0,1, ),|MN|min= =
【解析】(1)求出M( ),N(0,1, ),由此能求出|MN|.(2)当MN是BD1和CC1的公垂线时,|MN|取最小值,由此得到当N是CC1中点时,|MN|取最小值.
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【题目】中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还升, 升, 升,1斗为10升,则下列判断正确的是( )
A. , , 依次成公比为2的等比数列,且
B. , , 依次成公比为2的等比数列,且
C. , , 依次成公比为的等比数列,且
D. , , 依次成公比为的等比数列,且
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【题目】对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上为一等品,在区间[15,20)和[25,30)上为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是( )
A.0.09
B.0.20
C.0.25
D.0.45
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【题目】已知函数的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)将函数的图象做怎样的平移变换可以得到函数的图象;
(Ⅲ)若方程在上有两个不相等的实数根,求的取值范围.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C.求证:
(1)EF∥平面ABC;
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
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【题目】甲、乙两位同学玩游戏,对于给定的实数a1 , 按下列方法操作一次产生一个新的实数:由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币,如果出现两个正面朝上或两个反面朝上,则把a1乘以2后再减去12;如果出现一个正面朝上,一个反面朝上,则把a1除以2后再加上12,这样就可以得到一个新的实数a2 , 对实数a2仍按上述方法进行一次操作,又得到一个新的实数a3 , 当a3>a1 , 甲获胜,否则乙获胜,若甲获胜的概率为 ,则a1的取值范围是( )
A.(﹣∞,12]
B.[24,+∞)
C.(12,24)
D.(﹣∞,12]∪[24,+∞)
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【题目】给出下列三个类比结论.
①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn;
②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sinαsinβ;
③(a+b)2=a2+2ab+b2与( + )2类比,则有( + )2= 2+2 + 2;
其中结论正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】如图是2012年在某大学自主招生考试的面试中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )
7 | 9 | ||||
8 | 4 | 4 | 6 | 4 | 7 |
9 | 3 |
A.84,4.84
B.84,1.6
C.85,1.6
D.85,4
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