Question

2．设无穷数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$n²+n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求满足S${\;}_{{k}^{2}}$=（S_k）²的正整数k；
（3）求出所有的无穷数列{a_n}，使得对于一切正整数k都有S${\;}_{{k}^{2}}$=（S_k）²成立．

Answer 1

分析 （1）由数列的前n项和求出首项，并求出n≥2时的通项，验证首项后得答案；
（2）由${S}_{{k}^{2}}=（{S}_{k}）^{2}$，得$\frac{1}{2}{k}^{4}+{k}^{2}=（\frac{1}{2}{k}^{2}+k）^{2}$，解方程即可求得k值；
（3）设数列{a_n}的公差为d，则在${S_{n^2}}={（{S_n}）^2}$中分别取k=1，2，求得首项和公差，验证是否满足${S}_{{n}^{2}}=（{S}_{n}）^{2}$成立得答案．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=$\frac{3}{2}$；
当n≥2时a_n=S_n-S_n-1 =$\frac{1}{2}$n²+n-[$\frac{1}{2}（n-1）^{2}+（n-1）$]=n+$\frac{1}{2}$．
n=1时，${a_1}=\frac{3}{2}$，满足上式．
∴${a_n}=n+\frac{1}{2}$；
（2）∵S_n=$\frac{1}{2}$n²+n，
∴由${S}_{{k}^{2}}=（{S}_{k}）^{2}$，得$\frac{1}{2}{k}^{4}+{k}^{2}=（\frac{1}{2}{k}^{2}+k）^{2}$，
即$\frac{1}{4}{k}^{4}={k}^{3}$，又k≠0，∴k=4；
（3）设数列{a_n}的公差为d，则在${S_{n^2}}={（{S_n}）^2}$中分别取k=1，2，得
$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}=（{S}_{1}）^{2}}\\{{S}_{4}=（{S}_{2}）^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}={{a}_{1}}^{2}①}\\{4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=（2{a}_{1}+\frac{2×1}{2}d）^{2}②}\end{array}\right.$
由①得：a₁=0或a₁=1．
当a₁=0时，代入②得：d=0或d=6，
若a₁=d=0，则a_n=S_n=0，从而${S}_{{k}^{2}}=（{S}_{k}）^{2}$成立；
若a₁=0，d=6，则a_n=6（n-1），由${S}_{3}=18，（{S}_{3}）^{2}=324$，S₉=216，知${S}_{9}≠（{S}_{3}）^{2}$，
故所得数列不符合题意；
当a₁=1时，代入②得：4+6d=（2+d）²，解得d=0或d=2．
若a₁=1，d=0，则a_n=1，S_n=n，从而${S}_{{k}^{2}}=（{S}_{k}）^{2}$成立；
若a₁=1，d=2，则${a}_{n}=2n-1，{S}_{n}=1+3+…+（2n-1）={n}^{2}$，
从而${S}_{{n}^{2}}=（{S}_{n}）^{2}$成立．
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
①{a_n}：a_n=0，即0，0，0，…；
②{a_n}：a_n=1，即1，1，1，…；
③{a_n}：a_n=2n-1，即1，3，5，…．

点评 本题考查数列的和，考查了等差关系的确定，考查学生的逻辑思维能力和推理论证能力，是中档题．