【题目】某人利用一根原木制作一件手工作品,该作品由一个球体和一个正四棱柱组成,假定原 木为圆柱体(如图1),底面半径为,高为
,制作要求如下:首先需将原木切割为两部分(分别称为第I圆柱和第II圆柱),要求切面与原木的上下底面平行(不考虑损耗) 然后将第I圆柱切割为一个球体,要求体积最大,将第II圆柱切割为一个正四棱柱,要求正四棱柱的上下底面分别为第II圆柱上下底面圆的内接正方形.
(1)当时,若第I圆柱和第II圆柱的体积相等,求该手王作品的体积;
(2)对于给定的和
,求手工作品体积的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由已知可得第I圆柱和第II圆柱高相等为4,等于圆柱底面直径,第I圆柱的球体最大直径为4,再由条件可求出正四棱柱的底面边长,从而求出体积,即可求解;
(2)设第I圆柱的高为,则第II圆柱的高为
,求出正四棱柱体积为
,而球半径为
与
较小值,对
分类讨论,当
是,球的半径为
,体积定值,只需求
最大值即可;当
,球最大半径为
,求出球的体积与正四棱柱体积和,通过求导,求出最大值,对比
两个范围的最大值,即可求解.
(1)因为第I圆柱和第II圆柱的体积一样大,
所以它们的高一样,可设为
第I圆柱的球体直径不超过和
因此第I圆柱内的最大球体半径即为
球体体积
因为正四棱柱的底面正方形内接于半径为的圆
所以正方形的对角线长为,边长为
正四棱柱体积,
手工作业的体积为.
(2)设第I圆柱的高为,则第II圆柱的高为
,
①当时,第I圆柱内的球体直径应不超过
和
,
故球体的最大半径应为
由(1)可知,此时第II圆柱内的正四棱柱底面积为,
故当时,
最大为
,
手工作品的体积最大值为.
②当时,第I圆柱内的球体直径应不超过
和
,
故球体的最大直径应为,
球体体积,
正四棱柱体积
所以手工作品的体积为.
.
令
递减 | 极小 | 递增 |
,
因为,
所以
所以当时,
手工作品的体积最大值为
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),在以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
(
且
).
(I)求直线的极坐标方程及曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知是直线
上的一点,
是曲线
上的一点,
,
,若
的最大值为2,求
的值.
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【题目】对于数列,若满足
,则称数列
为“0-1数列”.定义变换
,
将“0-1数列”
中原有的每个1都变成0,1,原有的每个0都变成1,0.例如
:1,0,1,则
设
是“0-1数列”,令
3,….
(Ⅰ) 若数列:
求数列
;
(Ⅱ) 若数列共有10项,则数列
中连续两项相等的数对至少有多少对?请说明理由;
(Ⅲ)若为0,1,记数列
中连续两项都是0的数对个数为
,
.求
关于
的表达式.
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【题目】某市房管局为了了解该市市民年
月至
年
月期间买二手房情况,首先随机抽样其中
名购房者,并对其购房面积
(单位:平方米,
)进行了一次调查统计,制成了如图
所示的频率分布直方图,接着调查了该市
年
月至
年
月期间当月在售二手房均价
(单位:万元/平方米),制成了如图
所示的散点图(图中月份代码
分别对应
年
月至
年
月).
(1)试估计该市市民的购房面积的中位数;
(2)现采用分层抽样的方法从购房面积位于的
位市民中随机抽取
人,再从这
人中随机抽取
人,求这
人的购房面积恰好有一人在
的概率;
(3)根据散点图选择和
两个模型进行拟合,经过数据处理得到两个回归方程,分别为
和
,并得到一些统计量的值如下表所示:
0.000591 | 0.000164 | |
0.006050 |
请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好,并用拟合效果更好的模型预测出
年
月份的二手房购房均价(精确到
)
(参考数据),
,
,
,
,
,
(参考公式)
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【题目】2016年1月14日,国防科工局宣布,嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过,正式开始实施.如图所示,假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用和
分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用
和
分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,给出下列式子:①
;②
;③
;④
.其中正确式子的序号是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
的离心率为
,直线
被椭圆
截得的线段长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点的直线与椭圆交于
两点(
不是椭圆
的顶点),点
在椭圆
上,且
,直线
与
轴
轴分别交于
两点.
①设直线斜率分别为
,证明存在常数
使得
,并求出
的值;
②求面积的最大值.
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【题目】已知圆,圆
内一点
,动圆
经过点
且与圆
内切.
(1)求圆心的轨迹
的方程.
(2)过点且不与坐标轴垂直的直线交曲线
于
两点,线段
的垂直平分线与
轴交于点
,求点
横坐标的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知平行于
轴的动直线
交抛物线
:
于点
,点
为
的焦点.圆心不在
轴上的圆
与直线
,
,
轴都相切,设
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若直线与曲线
相切于点
,过
且垂直于
的直线为
,直线
,
分别与
轴相交于点
,
.当线段
的长度最小时,求
的值.
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