Question

A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子（x、y、z≥0，且x+y+z=6），B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜．
（1）用x、y、z表示B胜的概率；（2）当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？
（3）若规定A取红球，白球，黄球而获胜的得分分别为1，2，3分，否则得0分，求A得分的期望的最大值及此时x，y，z的值．

Answer 1

分析：（1）A胜与B胜为对立事件，A胜分为三个基本事件：①A₁：“A、B均取红球”；②A₂：“A、B均取白球”；③A₃：“A、B均取黄球”．由此能求出用x、y、z表示B胜的概率．
（2）由（1）知P(A)=

3x+2y+z

36

，又x+y+z=6，x≥0，y≥0，z≥0，于是P(A)=

3x+2y+z

36

=

12+x-z

36

≤

1

2

，由此能求出A在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为

1

2

．
（3）设A的得分为随机变量ξ，则P(ξ=3)=

z

6

×

1

6

=

z

36

；P(ξ=2)=

y

6

×

2

6

=

2y

36

；P(ξ=1)=

x

6

×

3

6

=

3x

36

；P(ξ=0)=1-

3x+2y+z

36

，由此能求出A得分的期望的最大值及此时x，y，z的值．

解答：解：（1）显然A胜与B胜为对立事件，
A胜分为三个基本事件：
①A₁：“A、B均取红球”；
②A₂：“A、B均取白球”；
③A₃：“A、B均取黄球”．
∵P(A1)=

x

6

×

1

2

，P(A2)=

y

6

×

1

3

，P(A3)=

z

6

×

1

6

∴P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=

3x+2y+z

36

，
∴P(B)=1-

3x+2y+z

36

（2）由（1）知P(A)=

3x+2y+z

36

，
又x+y+z=6，x≥0，y≥0，z≥0，
于是P(A)=

3x+2y+z

36

=

12+x-z

36

≤

1

2

，
∴当x=6，y=z=0，
即A在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为

1

2

．
（3）设A的得分为随机变量ξ，
则P(ξ=3)=

z

6

×

1

6

=

z

36

；
P(ξ=2)=

y

6

×

2

6

=

2y

36

；
P(ξ=1)=

x

6

×

3

6

=

3x

36

；
P(ξ=0)=1-

3x+2y+z

36

，
∴Eξ=3×

z

36

+2×

2y

36

+1×

3x

36

+0=

1

2

+

y

36

，
∵x+y+z=6（x，y，z∈N），
∴y=6时，
Eξ取得最大值为

2

3

，
此时x=z=0．

点评：本题考查概率在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要注意概率性质和古典概型的特征的灵活运用．