Question

A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子（x、y、z≥0，且x+y+z=6），B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜．
（1）用x、y、z表示B胜的概率；（2）当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？
（3）若规定A取红球，白球，黄球而获胜的得分分别为1，2，3分，否则得0分，求A得分的期望的最大值及此时x，y，z的值．

Answer 1

解：（1）显然A胜与B胜为对立事件，
A胜分为三个基本事件：
①A₁：“A、B均取红球”；
②A₂：“A、B均取白球”；
③A₃：“A、B均取黄球”．
∵
∴，
∴
（2）由（1）知，
又x+y+z=6，x≥0，y≥0，z≥0，
于是，
∴当x=6，y=z=0，
即A在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为．
（3）设A的得分为随机变量ξ，
则；
；
；
，
∴，
∵x+y+z=6（x，y，z∈N），
∴y=6时，
Eξ取得最大值为，
此时x=z=0．
分析：（1）A胜与B胜为对立事件，A胜分为三个基本事件：①A₁：“A、B均取红球”；②A₂：“A、B均取白球”；③A₃：“A、B均取黄球”．由此能求出用x、y、z表示B胜的概率．
（2）由（1）知，又x+y+z=6，x≥0，y≥0，z≥0，于是，由此能求出A在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为．
（3）设A的得分为随机变量ξ，则；；；，由此能求出A得分的期望的最大值及此时x，y，z的值．
点评：本题考查概率在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要注意概率性质和古典概型的特征的灵活运用．