Question

对于以下结论：
①若y=f（x）是奇函数，则f（0）=0；
②已知p：事件A、B是对立事件，q：事件A、B是互斥事件，则p是q的必要但不充分条件；
③若

a

=(1，2)，

b

=(0，-1)，则

b

在

a

上的投影为-

2 5

5

；
④

ln5

5

＜

ln3

3

＜

1

e

（e为自然数）；
⑤函数y=log2

x+2

x

的图象可以由函数y=log₂x图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位而得．
其中，正确结论的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,简易逻辑

分析：据反例说明①错误；根据互斥事件和对立事件的概念判断②；首先求出向量

a

，

b

夹角的余弦值，由向量数量积的几何意义求解

b

在

a

上的投影判断③；引入辅助函数f（x）=

lnx

x

，由导数判断函数在x＞e时为减函数，由此得到命题④的真假；直接利用函数图象的平移求得函数y=log₂x平移后的函数解析式，从而判断⑤．

解答： 解：对于①，函数f（x）=

1

x

是奇函数，但f（0）不存在，∴命题①错误；
对于②，事件A、B是对立事件，则A、B一定是互斥事件，反之，A、B是互斥事件，但A、B不一定是对立事件，∴p是q的充分但不必要条件，命题②错误；
对于③，∵

a

=(1，2)，

b

=(0，-1)，
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

1×0+2×(-1)

5 ×1

=-

2 5

5

．
则

b

在

a

上的投影为|

b

|cos＜

a

，

b

＞=1×(-

2 5

5

)=-

2 5

5

．命题③正确；
对于④，令函数f（x）=

lnx

x

，则f′(x)=

1-lnx

x2

，当x≥e时，f′（x）≤0，
∴函数f（x）=

lnx

x

为减函数，命题④正确；
对于⑤，函数y=log2

x+2

x

=log2(1+

2

x

)．而函数y=log₂x图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的函数解析式为y=log₂（x+2）-1，∴命题⑤错误．
∴正确结论的序号是③④．
故答案为：③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查了函数的性质、图象平移、及单调性的判断，考查了向量数量积的几何意义，考查了互斥事件与对立事件的关系，是中档题．