Question

设p：“a＞3”q：“f（x）=x³-ax²+1在（0，2）上有唯一零点”，则p是q的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：导数的综合应用

分析：利用导数研究函数f（x）的单调性，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答： 解：若a＞3，则f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a）=3x（x-

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a），
∴f′（x）＜0，即函数函数f（x）=x³-ax²+1 在（0，2）上单调递减，
而f（0）=1＞0，f（2）=8-4a+1=9-4a＜0，
∴函数f（x）=x³-ax²+1 在（0，2）上零点有一个．
当a=3时，f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
则当x=0时，函数f（x）取得极大值f（0）=1＞0，
当x=2时，函数f（x）取得极小值f（2）=-3＜0，
且函数f（x）在（0，2）上单调递减，满足f（x）=x³-3x²+1在（0，2）上有唯一零点，但a＞3不成立．
故p是q的充分不必要条件．
故选：A．

点评：本题主要考查函数零点的应用，根据函数单调性和导数之间的关系，以及充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．