Question

17．如图，点F₁、F₂是椭圆C₁、C₂的左右焦点，椭圆C₁与双曲线C₂的渐近线交于点P，PF₁⊥PF₂，椭圆C₁与双曲线C₂的离心率分别为e₁、e₂，则（　　）

• A． e₂²=$\frac{1+{{e}_{1}}^{4}}{1-{{e}_{1}}^{2}}$
• B． e₂²=$\frac{{2{e}_{1}}^{4}}{1-{{e}_{1}}^{2}}$
• C． e₂²=$\frac{1-{{e}_{1}}^{4}}{2{{e}_{1}}^{2}-1}$
• D． e₂²=$\frac{{{e}_{1}}^{4}}{2{{e}_{1}}^{2}-1}$

Answer 1

分析 设椭圆及双曲线方程，由曲线共焦点，则c²+b₁²=a₁²，a₂²+b₂²=c²，求得双曲线的渐近线方程，代入椭圆方程，求得P点坐标，由直角三角形的性质，即可求得丨OP丨=c，利用勾股定理及椭圆及双曲线的性质即可求得答案．

解答 解：设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}=1$，双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}=1$，P（x，y），
由题意可知：c²+b₁²=a₁²，a₂²+b₂²=c²，
双曲线的渐近线方程：y=±$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$x，
将渐近线方程代入椭圆方程：解得：x²=$\frac{{a}_{1}^{2}{a}_{2}^{2}{b}_{1}^{2}}{{a}_{2}^{2}{b}_{1}^{2}+{a}_{1}^{2}{b}_{2}^{2}}$，y²=$\frac{{a}_{1}^{2}{b}_{2}^{2}{b}_{1}^{2}}{{a}_{2}^{2}{b}_{1}^{2}+{a}_{1}^{2}{b}_{2}^{2}}$，
由PF₁⊥PF₂，
∴丨OP丨=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨=c，
∴x²+y²=c²，
代入整理得：a₁⁴+a₂²c²=2a₁²c²，
两边同除以c⁴，由椭圆及双曲线的离心率公式可知：e₁=$\frac{c}{{a}_{1}}$，e₂=$\frac{c}{{a}_{2}}$，
整理得：e₂²=$\frac{{e}_{1}^{4}}{2{e}_{1}^{2}-1}$，
故选D．

点评 本题考查椭圆及双曲线的标准方程及简单几何性质，考查直角三角形的性质及勾股定理的应用，考查计算能力，属于中档题．