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    【题目】某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：

    组号

    第一组

    第二组

    第三组

    第四组

    第五组

    分组

    [50，60）

    [60，70）

    [70，80）

    [80，90）

    [90，100]

    （1）求图中a的值；

    （2）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；

    （3）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？

    【答案】（1）；（2）74．5；（3）

    【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图性质，每个小长方形面积等于该组的频率，所有小长方形面积和等于，所以，可以求出；（2）本问考查由频率分布直方图估算样本数据的平均数，用每组的频率乘以该组数据中点横坐标的值，再相加即可；（3）根据频率分布直方图可知，第三、四、五组的频率之比为，根据分层抽样性质，第三、四、五组抽取人数一次为人， 人， 人，从人随机抽取人，共有种不同的抽取方法，再求出恰有人不低于分的事件个数，就可以求出相应的概率.

    试题解析：（1）由题意得，所以；

    （2）由直方图分数在的频率为0.05， 的频率为0.35， 的频率为0.30， 的频率为0.20， 的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：

    ；

    （3）由直方图，得：第3组人数为： 人，

    第4组人数为： 人，

    第5组人数为： 人，

    所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，

    每组分别为：第3组： 人，

    第4组： 人，

    第5组： 人，

    所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．

    设第3组的3位同学为，第4组的2位同学为，第5组的1位同学为，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：

    ，

    ，

    其中恰有1人的分数不低于90分的情形有： ，共5种，所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为．

    练习册系列答案
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    【题目】2017年天猫五一活动结束后，某地区研究人员为了研究该地区在五一活动中消费超过3000元的人群的年龄状况，随机在当地消费超过3000元的群众中抽取了500人作调查，所得概率分布直方图如图所示：记年龄在， ， 对应的小矩形的面积分别是，且.

    （1）以频率作为概率，若该地区五一消费超过3000元的有30000人，试估计该地区在五一活动中消费超过3000元且年龄在的人数；

    （2）若按照分层抽样，从年龄在的人群中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作深入调查，求至少有1人的年龄在内的概率.

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    【题目】为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表和频率分布直方图：

    月工资

    （单位：百元）

    [15,25)

    [25,35)

    [35,45)

    [45,55)

    [55,65)

    [65,75)

    男员工数

    1

    8

    10

    6

    4

    4

    女员工数

    4

    2

    5

    4

    1

    1

    (1) 试由上图估计该单位员工月平均工资；

    (2)现用分层抽样的方法从月工资在和的两组所调查的男员工中随机选取5人，问各应抽取多少人？

    (3)若从月工资在和两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差不超过1000元的概率．

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    【题目】函数.

    （1）当时，求在区间上的最值；

    （2）讨论的单调性；

    （3）当时，有恒成立，求的取值范围.

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    【题目】已知圆，直线经过点A (1，0).

    （1）若直线与圆C相切，求直线的方程；

    （2）若直线与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ面积的最大值，并求此时直线的方程.

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    【题目】已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.

    （1）求的方程；

    （2）设过点的动直线与相交于两点，问：是否存在直线，使以为直径的圆经过原点，若存在，求出对应直线的方程，若不存在，请说明理由.

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    【题目】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．

    （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；

    （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

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    【题目】某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用、、三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如表：

    方式

    实施地点

    大雨

    中雨

    小雨

    模拟实验总次数

    甲

    4次

    6次

    2次

    12次

    乙

    3次

    6次

    3次

    12次

    丙

    2次

    2次

    8次

    12次

    假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟实验的统计数据：

    （Ⅰ）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；

    （Ⅱ）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望．

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    【题目】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB∥CD ，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点．求证：

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    （2）平面BEF⊥平面PCD．

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