Question

4．已知函数f（x）是R上的奇函数，f（1）=$\frac{1}{2}$，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（2015）=$\frac{2015}{2}$．

Answer 1

分析 根据f（x）为R上的奇函数，从而可得到f（-1+1）=f（-1）+f（2），从而可求出f（2）=1，这样由f（x+2）=f（x）+f（2）便可得到f（2015）=f（1）+1007f（2）=$\frac{2015}{2}$．

解答 解：f（x）为R上的奇函数；
∴取x=-1得，f（1）=-f（1）+f（2）；
∴f（2）=2f（1）=1；
f（x+2）=f（x）+f（2），f（x+2+2）=f（x）+2f（2），…，f（x+2n）=f（x）+nf（2），n∈N；
∴f（2015）=f（1+1007×2）=$f（1）+1007f（2）=\frac{1}{2}+1007=\frac{2015}{2}$．
故答案为：$\frac{2015}{2}$．

点评 考查奇函数的定义，由条件f（x+2）=f（x）+f（2）能得出f（x+2n）=f（x）+nf（2），n∈N，是本题求解的关键．