Question

12．已知在△ABC中，点A（-1，0），B（1，0），C为动点，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，且abcos²$\frac{C}{2}$=1．
（1）求证：动点C在曲线E：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上；
（2）设点O为坐标原点，过点B作直线l与曲线E交于M，N两点，若OM⊥ON，试求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由abcos²$\frac{C}{2}$=1，利用倍角公式与余弦定理，及其c=2，化为a+b=2$\sqrt{2}$＞2，即可证明．
（2）设直线l的方程为：my=x-1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为（2+m²）y²+2my-1=0，由OM⊥ON，可得x₁x₂+y₁y₂=0，把根与系数的关系代入化简解出即可．

解答 （1）证明：∵abcos²$\frac{C}{2}$=1，∴$ab•\frac{cosC+1}{2}=1$，∴$ab（\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}+1）$=2，c=2，化为a+b=2$\sqrt{2}$＞2．
∴动点C在以点A（-1，0），B（1，0）为焦点，2$\sqrt{2}$为长轴长的椭圆上．
∴动点C在曲线E：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上．
（2）解：设直线l的方程为：my=x-1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化为（2+m²）y²+2my-1=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-2m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-1}{2+{m}^{2}}$．
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（my₁+1）（my₂+1）+y₁y₂=0，
化为（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=0，
∴$\frac{-（{m}^{2}+1）}{2+{m}^{2}}$-$\frac{2{m}^{2}}{{m}^{2}+2}$+1=0，
化为：m²=$\frac{1}{2}$，
解得m=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直线l的方程为：$\sqrt{2}x±y-\sqrt{2}$=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、余弦定理、倍角公式、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的该协议书的关系、直线方程、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．