Question

2．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=$\frac{n+1}{2}$a_n+1
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求数列{n²a_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若存在n∈N^*，使得a_n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将n换为n-1，相减可得n≥2时，数列{na_n}是以2为首项，3为公比的等比数列，由等比数列的求和公式即可得到所求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当n≥2时，${n^2}{a_n}=2n•{3^{n-2}}$，运用错位相减法，即可得到所求；
（Ⅲ）若存在n∈N^*，使得a_n≤（n+1）λ成立，即为λ≥$\frac{{a}_{n}}{n+1}$，令f（n）=$\frac{2•{3}^{n-2}}{n（n+1）}$，判断单调性，可得f（n）的最小值，由存在性问题的解法，可得实数λ的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+n{a_n}=\frac{n+1}{2}{a_{n+1}}$，n∈N^*①
∴${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+（n-1）{a_n}=\frac{n}{2}{a_n}$，n≥2②，
①-②：$n{a_n}=\frac{n+1}{2}{a_{n+1}}-\frac{n}{2}{a_n}$，
∴$\frac{3n}{2}{a_n}=\frac{n+1}{2}{a_{n+1}}$，
即（n+1）a_n+1=3na_n（n≥2），
又2a₂=2a₁=2，
∴n≥2时，数列{na_n}是以2为首项，3为公比的等比数列．
∴$n{a_n}=2•{3^{n-2}}（n≥2）$，
故${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1\;，n=1\\ \frac{2}{n}•{3^{n-2}}\;，n≥2\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当n≥2时，${n^2}{a_n}=2n•{3^{n-2}}$，∴当n=1时，T₁=1；
当n≥2时，${T_n}=1+4•{3^0}+6•{3^1}+…+2n•{3^{n-2}}$，①$3{T_n}=3+4•{3^1}+6•{3^2}+…+2（n-1）•{3^{n-2}}+2n•{3^{n-1}}$，②
①-②得，$-2{T_n}=2+2（{3^1}+{3^2}+…+{3^{n-2}}）-2n•{3^{n-1}}$
=2-3+3^n-1-2n•3^n-1=-1+（1-2n）•3^n-1
∴${T_n}=\frac{1}{2}+（n-\frac{1}{2}）{3^{n-1}}（n≥2）$，又T₁=1也满足，
∴${T_n}=\frac{1}{2}+（n-\frac{1}{2}）{3^{n-1}}（n∈{N^*}）$．
（Ⅲ）若存在n∈N^*，使得a_n≤（n+1）λ成立，即为λ≥$\frac{{a}_{n}}{n+1}$，
当n≥2时，λ≥$\frac{2•{3}^{n-2}}{n（n+1）}$，
令f（n）=$\frac{2•{3}^{n-2}}{n（n+1）}$
，则$\frac{f（n+1）}{f（n）}$=$\frac{2•{3}^{n-1}}{（n+1）（n+2）}$•$\frac{n（n+1）}{2•{3}^{n-2}}$=3n＞1，
又f（n）＞0，即有f（n+1）＞f（n），当n≥2时，f（n）单调递增，
f（n）的最小值为f（2）=$\frac{1}{3}$，
而n=1时，$\frac{{a}_{1}}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，综上可得$\frac{{a}_{n}}{n+1}$的最小值为$\frac{1}{3}$．
即有λ≥$\frac{1}{3}$，即实数λ的最小值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查数列的通项的求法和数列求和的方法：错位相减法，考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查不等式成立问题的解法，属于中档题．