Question

已知数列{a_n}满足：a₁＝，a_n＋1＝ (n∈N^*)．
(1)求a₂，a₃的值；
(2)证明：不等式0＜a_n＜a_n＋1对于任意n∈N^*都成立．

Answer 1

（1）a₂＝，a₃＝（2）见解析

(1)由题意，得a₂＝，a₃＝.
(2)①当n＝1时，由(1)知0＜a₁＜a₂，不等式成立．
②设当n＝k(k∈N^*)时，0＜a_k＜a_k＋1成立，则当n＝k＋1时，由归纳假设，知a_k＋1＞0.
而a_k＋2－a_k＋1＝ ＝＝＞0，
所以0＜a_k＋1＜a_k＋2，
即当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②，得不等式0＜a_n＜a_n＋1对于任意n∈N^*成立．