Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，E、F分别为AD、PC中点．
（1）求点F到平面PAB的距离；
（2）求证：平面PCE⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）取PB的中点G，连接FG、AG，证得底面ABCD为正方形．再由中位线定理可得FG∥AE且FG=AE，四边形AEFG是平行四边形，则AG∥FE，运用线面平行的判定定理可得EF∥平面PAB，点F与点E到平面PAB的距离相等，运用线面垂直的判定和性质，证得AD⊥平面PAB，即可得到所求距离；
（2）运用线面垂直的判定和性质，证得BC⊥平面PAB，EF⊥平面PBC，再由面面垂直的判定定理，即可得证．

解答 （1）解：如图，取PB的中点G，连接FG、AG，
因为底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，$BD=2\sqrt{2}$，
所以底面ABCD为正方形．
∵E、F分别为AD、PC中点，
∴FG∥BC，AE∥BC，$FG=\frac{1}{2}BC$，$AE=\frac{1}{2}AD$，
∴FG∥AE且FG=AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥FE，
∵AG?平面PAB，EF?平面PAB，∴EF∥平面PAB，
∴点F与点E到平面PAB的距离相等，
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，
又AD⊥AB，PA∩AB=A，
AD⊥平面PAB，
则点F到平面PAB的距离为EA=1．
（2）证明：由（1）知AG⊥PB，AG∥EF，
∵PA⊥平面ABCD，∴BC⊥PA，
∵BC⊥AB，AB∩BC=B，∴BC⊥平面PAB，
由AG?平面PAB，
∴BC⊥AG，又∵PB∩BC=B，
∴AG⊥平面PBC，∴EF⊥平面PBC，
∵EF?平面PCE，
∴平面PCE⊥平面PBC．

点评 本题考查空间点到平面的距离，注意运用转化思想，考查线面平行和垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定，熟练掌握定理的条件和结论是解题的关键，属于中档题．