Question

11．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC，AC、BD交于点O．
（I）求证：FC∥平面EAD；
（II）求证：AC⊥平面BDEF．
（III）求二面角F-AB-C（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以AD∥BC，DE∥BF，可得平面FBC∥平面EAD，由此能够证明FC∥平面EAD；
（Ⅱ）设AC与BD相交于点O，连接FO，推导出AC⊥BD，AC⊥FO，由此能证明AC⊥平面BDEF；
（Ⅲ）连接FO、FD，先证明FO⊥平面ABCD．，再过O作OH垂直AB于H，连结FH，则∠FHO就是二面角F-AB-C（锐角）的平面角．

解答 解：（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，
所以AD∥BC，DE∥BF．
因为AD?平面FBC，DE?平面FBC，所以AD∥平面FBC，DE∥平面FBC
又AD∩DE=D，AD?平面EAD，DE?平面EAD，所以平面FBC∥平面EAD
又FC?平面FBC，所以FC∥平面EAD
（Ⅱ）证明：连接FO，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
又O为AC中点，且FA=FC，所以AC⊥FO，
因为FO∩BD=O，所以AC⊥平面BDEF．  
（Ⅲ）连接FO、FD，则因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，
所以△DBF为等边三角形，
因为O为BD中点．所以FO⊥BD，又因为O为AC中点，且FA=FC，所以AC⊥FO
又AC∩BD=O，所以FO⊥平面ABCD．
过O作OH垂直AB于H，连结FH，则∠FHO就是二面角F-AB-C（锐角）的平面角．
设AB=2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，OB=1，FO=$\sqrt{3}$，
OH=$\frac{1}{2}ADsin6{0}^{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，tan∠FHO=$\frac{OF}{OH}=2$，∴$cos∠FHO=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
二面角F-AB-C（锐角）的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查直线与平面垂直、直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．．