Question

6．如图，已知三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M为PB的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥BC．
（Ⅱ）求二面角M-AC-B的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过证明PA⊥BC，BC⊥AC．得到BC⊥面PAC即可
（Ⅱ）取AB中点O，连结MO、过O作HO⊥AC于H，连结MH，因为M是PB的中点，∠MHO为二面角M-AC-B的平面角．在Rt△MHO中，球tan∠MHO即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：由PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
又因为∠ACB=90°，即BC⊥AC．
∴BC⊥面PAC，∴PC⊥BC．
（Ⅱ）取AB中点O，连结MO、过O作HO⊥AC于H，连结MH，因为M是PB的中点，所以MO∥PA，
又因为PA⊥面ABC，∴MO⊥面ABC．∴∠MHO为二面角M-AC-B的平面角．
设AC=2，则BC=2$\sqrt{3}$，MO=1，OH=$\sqrt{3}$，
在Rt△MHO中，tan∠MHO=$\frac{MO}{HO}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
二面角M-AC-B的大小为30⁰．

点评 本题考查了线线的位置关系，及二面角的求解，属于基础题，